Verifica di Matematica — Flessi, Max/Min, Teoremi del Calcolo Differenziale

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La mappa della verifica

f

La funzione

Dominio, segno, asintoti, comportamento agli estremi.

f′

Derivata prima

Pendenza, crescenza, max/min relativi.

f″

Derivata seconda

Concavità e punti di flesso.

Le tre cose da saper fare

Applicare i teoremi (Rolle, Lagrange, Cauchy, De L'Hôpital) verificando le ipotesi.
Trovare flessi, massimi e minimi studiando il segno di $f'$ e $f''$.
Risolvere problemi di max/min: definire la variabile, scrivere $f$, derivare, controllare il bordo.

Suggerimento: prima di derivare, controlla sempre il dominio. Non sempre $f'(x_0)=0$ implica max o min — può essere un flesso a tangente orizzontale.

Le funzioni "amiche" della verifica

$f(x) = x^3 - 3x$

flesso obliquo + max/min

$f(x) = x^4 - 4x^2$

1 max + 2 min

$f(x) = \dfrac{x}{1+x^2}$

3 flessi + asintoto

Quiz veloce

Cosa indica il segno di $f''(x)$?

La pendenza della tangente La concavità ($>0$ in alto, $<0$ in basso) Se la funzione è crescente o decrescente

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Teoremi del calcolo differenziale

Teorema di Rolle

Se $f$ è continua su $[a,b]$, derivabile su $(a,b)$ e $f(a)=f(b)$, allora esiste $c \in (a,b)$ tale che $f'(c)=0$.

Anim — Rolle: la tangente scorre finché diventa orizzontale

Teorema di Lagrange (valor medio)

$f$ continua su $[a,b]$, derivabile su $(a,b)$ $\Rightarrow$ esiste $c \in (a,b)$ tale che $f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Anim — Lagrange: la tangente è parallela alla corda

Cauchy

$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)}$ per un $c\in(a,b)$. Generalizza Lagrange a due funzioni; serve per dimostrare De L'Hôpital.

De L'Hôpital

Per forme $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$: $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f}{g}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'}{g'}$. Es: $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}\stackrel{H}{=}\dfrac{\cos x}{1}\to 1$.

Quale teorema in che caso?

Situazione	Teorema
$f(a)=f(b)$, cerco $f'=0$	Rolle
Pendenza media = pendenza in un punto	Lagrange
Rapporto di variazioni	Cauchy
Limite $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$	De L'Hôpital

Quiz veloce

Per Rolle servono:

Solo la continuità Derivabilità su $[a,b]$ e $f(a)\neq f(b)$ Continuità su $[a,b]$, derivabilità su $(a,b)$, $f(a)=f(b)$

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Flessi e concavità

Flesso

Punto $x_0$ del dominio in cui $f$ cambia concavità.

Anim — la curva cambia concavità: ecco un flesso

Necessaria

Se $x_0$ è flesso e $f$ ha $f''$, allora $f''(x_0)=0$.

Sufficiente

$f''$ cambia segno in $x_0$ $\Rightarrow$ flesso.

Tipi di flesso

Orizzontale

$f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)=0$. Es: $x^3$ in $0$.

Obliqua

$f'(x_0)\neq 0$, $f''$ cambia segno.

Verticale

$|f'(x_0)|=+\infty$ con cambio concavità. Es: $\sqrt[3]{x}$.

Esplora i flessi

f(x) f'(x) f''(x) flesso

Quiz veloce

$f(x)=x^4$. $f''(0)=0$. Cosa puoi dire?

È sicuramente un flesso Non è flesso: $f''$ non cambia segno (è un minimo) È un massimo

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Massimi e minimi

Anim — la tangente diventa orizzontale in max e min

Le due regole

Test della derivata prima

$f'$ passa da $+$ a $-$ $\Rightarrow$ max.
$f'$ passa da $-$ a $+$ $\Rightarrow$ min.

Test della derivata seconda

$f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)>0 \Rightarrow$ min.
$f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)<0 \Rightarrow$ max.

Tabella dei segni — $f(x)=x^4-4x^2$

	$x<-\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$	$<0$	$0$	$>0$	$\sqrt{2}$	$>\sqrt{2}$
$f'(x)$	−	0	+	0	−	0	+
$f(x)$	↘	min	↗	MAX	↘	min	↗

Visualizza i punti critici

f(x) f'(x) max min

Su $[a,b]$ chiuso (Weierstrass): gli estremi assoluti vanno cercati tra punti critici, punti di non derivabilità e gli estremi $a$, $b$.

Quiz veloce

$f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)>0$. $x_0$ è:

Minimo relativo Massimo relativo Flesso orizzontale

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Problemi di massimo e minimo

Strategia

Disegna + scegli la variabile $x$.
Scrivi la funzione obiettivo in $x$.
Determina il dominio fisico.
$f'(x)=0$, studia il segno.
Controlla anche il bordo.

Problema 1 — Rettangolo di area massima

Perimetro $2p$ fissato. Quale rettangolo ha area massima?

Anim — varia la base $x$, il perimetro resta fisso, l'area è massima nel quadrato

$x$

$A(x)=x(p-x)$, $A'(x)=p-2x=0 \Rightarrow x=\dfrac{p}{2}$. Quadrato! $A_{\max}=\dfrac{p^2}{4}$.

Problema 2 — Scatola di volume massimo

Da un quadrato di lato $L$ ritagli quadrati di lato $x$ agli angoli e pieghi.

Anim — il taglio $x$ si trasforma in scatola; il volume è massimo per $x=L/6$

$x$

$V(x)=x(L-2x)^2$, $V'(x)=(L-2x)(L-6x)=0 \Rightarrow x=\dfrac{L}{6}$. $V_{\max}=\dfrac{2L^3}{27}$.

Problema 3 — Distanza minima

Punto della parabola $y=x^2$ più vicino a $P(0,2)$.

Anim — sposta $Q$ sulla parabola, leggi la distanza

$x$

$D^2(x)=x^2+(x^2-2)^2$, $D'(x)\propto 2x(2x^2-3)=0$. Minimi in $x=\pm\sqrt{3/2}$, $D_{\min}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.

Per minimizzare distanze, lavora sul quadrato: stesso punto di minimo, derivate più semplici.

Quiz veloce

Dopo aver trovato i punti critici di un problema:

Si scrive subito la risposta Si guardano solo gli estremi Si verifica la natura del punto e si controlla il bordo

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Quiz finale di ripasso

Sei domande sui tre macro-argomenti. Alla fine il punteggio.